Catatan calon guru yang kita diskusikan saat ini akan membahas tentang Matematika Dasar Kaidah Pencacahan. Kaidah pencahahan ini akan kita coba diskusikan ke beberapa bagian, mulai dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.
Penerapan Kaidah Pencacahan dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya kita dapat menentukan banyaknya jumlah pertandingan pada sebuha kompetisi penuh atau setengah kompetisi. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada kaidah pencacahan juga sangatlah mudah, jika Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan mudah memahami soal-soal kaidah pencahahan dan menemukan solusinya.
Kaidah pencacahan yang terdiri dari aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. Aturan perkalian dan kawan-kawannya yang akan kita diskusikan berikut ini semoga mampu meningkatkan kemampuan bernalar kita dalam meyelesaikan masalah. Kemampuan bernalar kita sangat diuji pada materi ini, karena jika kita tidak dapat menerima cara berpikir yang sudah diberikan dalam menyelesaikan masalah misalkan pada aturan perkalian maka kita akan sedikit kelelahan dalam membuktikan jawaban yang kita peroleh, yaitu membuktikannya dengan cara manual.
Aturan Penjumlahan
Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1}+n_{2}+ \cdots +n_{k}$.Aturan Perkalian
Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan $n_{1}$ cara, kegiatan 2 terjadi dengan $n_{2}$ dan kegiatan ke-n terjadi dengan $n_{k}$ cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak $n_{1} \times n_{2} \times \cdots \times n_{k}$.Faktorial
Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "$!$" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.$n!$ dibaca "$n$ faktorial" didefenisikan:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 1 $
dimana $n$ adalah bilangan asli dan $0!=1$.
Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang. Dalam permutasi urutan sangat diperhatikan. Banyak permutasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,r)$ atau $P_{r}^{n}$ atau $_{n}P_{r}$ dimana $r \leq n$.$P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$
Permutasi Melingkar
Permutasi Melingkar adalah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang dimana dalam keadaan melingkar.Banyak permutasi melingkar dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $P(n,siklis)$ atau $P_{siklis}^{n}$ atau $_{n}P_{siklis}$.
$P_{siklis}^{n}=(n-r)!$
Permutasi ada unsur yang sama
Permutasi ada unsur yang sama adalah suatu susunan dari $n$ elemen dimana ada beberapa unsur yang sama dari unsur-unsur yang akan disusun.Banyak permutasi ada unsur yang sama dari $n$ elemen dimana unsur-unsur yang sama adalah $n_{1},n_{2},n_{k}$ diberi notasi $P(n,n_{1},n_{2},n_{k})$ atau $P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}$ atau $_{n}P_{n_{1},n_{2},n_{k}}$, dimana $n_{1}+n_{2}+n_{k} \leq n$
$P_{n_{1},n_{2},n_{k}}^{n}=\dfrac{n!}{n_{1}! \times n_{2}! \times n_{k}!}$
Kombinasi
Kombinasi adalah suatu susunan dari $n$ elemen berbeda dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi $r$ elemen dari $n$ elemen berbeda diberi notasi $C(n,r)$ atau $C_{r}^{n}$ atau $_{n}C_{r}$ atau $\binom{n}{r}$ dimana $r \leq n$.$C(n,r)=\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
Teorema Binomial untuk bilangan bulat positif $n$
$(a+b)^n=a^{n}+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\binom{n}{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+b^{n}$
Contoh-contoh dari apa yang disampaikan diatas dapat kita lihat pada soal-soal berikut, dimana soal bersumber dari soal ujian sekolah, ujian nasional atau ujian masuk perguruan tinggi negeri/swasta. Mari kita simak contoh Soalnya😊
Mari kita simak contoh Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Aturan Perkalian, Permutasi dan Kombinasi berikut 😊
1. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak ada setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 720 \\
(B)\ & 705 \\
(C)\ & 672 \\
(D)\ & 48 \\
(E)\ & 15
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto bebas adalah:
$6 \times 5 \times 4 \times \cdots \times 1=6!=720$
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto setiap pasangan ganda harus berdekatan. Dengan menganggap satu pasangan adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "tiga" dan setiap pasangan berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi sehingga banyak posisi berfoto adalah:
$3 \times 2 \times 1 \times 2! \times 2! \times 2!=48$
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah banyak posisi berfoto posisi bebas dikurang posisi foto harus berdekatan yaitu $720-48=672$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 672$
2. Soal SBMPTN 2017 Kode 241 (*Soal Lengkap)
Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima tempat parkir yang berderet memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak susunan parkir berbeda adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 42 \\
(B)\ & 52 \\
(C)\ & 62 \\
(D)\ & 72 \\
(E)\ & 82
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan parkir untuk 5 mobil dengan posisi parkir bebas adalah:
$5 \times 4 \times 3 \times \cdots \times 1=5!=120$
Banyak susunan parkir untuk 5 mobil dimana 2 mobil truk harus berdekatan. Dengan menganggap dua mobil truk adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "empat" dan saat posisi truk berdekatan ada $2!$ posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi parkir adalah:
$4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2! =48$
Banyak susunan parkir untuk 5 mobil dimana 2 mobil truk tidak berdekatan adalah banyak posisi parkir posisi bebas dikurang posisi parkir dimana truk harus berdekatan yaitu $120-48=72$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 72$
3. Soal SBMPTN 2018 Kode 403 (*Soal Lengkap)
Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari $9$ orang. Banyaknya cara membuat barisan satu bersaf sengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \times 8! \\
(B)\ & 6 \times 8! \\
(C)\ & 7 \times 8! \\
(D)\ & 6 \times 7! \\
(E)\ & 7 \times 7!
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan baris untuk 9 orang dengan posisi bebas adalah:
$9 \times 8 \times 7 \times \cdots \times 1=9!$
Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana 2 orang Ari dan Ira harus berdekatan. Dengan menganggap Ari dan Ira adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "delapan" dan saat posisi Ari dan Ira berdekatan ada dua posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi baris adalah:
$8 \times 7 \times 6 \times \cdots \times 1 \times 2=8! \times 2$
Banyak susunan baris untuk 9 orang dimana Ari dan Ira tidak berdekatan adalah banyak susunan baris posisi bebas dikurang susunan baris dimana Ari dan Ira harus berdekatan yaitu:
$\begin{align}
9!-8! \times 2 = & 9 \times 8!-8! \times 2 \\
= & 8! \times (9-2) \\
= & 8! \times 7
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 7 \times 8!$
4. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)
Tujuh finalis lomba menyayi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan tampil yang mungkin ada sebanyak...
$\begin{align}
(A)\ & 144 \\
(B)\ & 108 \\
(C)\ & 72 \\
(D)\ & 36 \\
(E)\ & 35
\end{align}$
Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan wanita bergantian adalah:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P & W & P & W & P \\
\hline
4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $4 \times 3 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 144$
Banyak susunan urutan menyanyi 7 orang dengan urutan pria dan wanita bergantian tetapi pria dan wanita dari SMA "A" harus berurutan. Dengan menganggap pria dan wanita dari SMA "A" adalah "satu" orang, maka susunan urutan yang menyanyi sekarang adalah "tiga" kelompok. Kelompok pria (3 orang), kelompok wanita (2 orang) dan kelompok SMA "A" (1 orang). Susunan urutannya adalah:
$3! \times 3! \times 2! \times 1!=6 \times 6 \times 2 \times 1 =72 $
Jika kita jabarkan urutan menyanyi kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\
\hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P_{A} & W_{A} & P & W & P & W & P \\
\hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $1 \times 1 \times 3\times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W_{A} & P_{A} & W & P & W & P \\
\hline
3 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 1 \times 1 \times 2\times 2\times 1\times 1 = 12$
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|cc}
P & W & P_{A} & W_{A} & P & W & P \\
\hline
3 & 2 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \end{array} $
Banyak susunan urutan adalah $3 \times 2 \times 1 \times 1 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$
